文系社会人向け連立方程式の解き方|簡単・便利な行列式のメリット

文系の社会人の方に向けて、連立方程式の解き方として、行列式を紹介します。
ここでは、行列式を用いた場合のメリットを記述します(解き方の説明ではありません)。
私自身、これを覚えたのは、社会人になってからです。

ここ何年も連立方程式を解く必要はなかったのですが、最近になって以下に示すような連立方程式に遭遇してしまいました。
508X + 1,016Y = 22,860,000
1,575X + 1,260Y = 37,800,000
(実際に遭遇した式の雰囲気を残して、答えが比較的キリの良くなるよう調整してあります。)
答えは、X = 10,000、Y = 17,500です。

こういった計算が得意な方は、面倒だなぁと感じつつも、式の雰囲気を見て最適な方法を選択して、淡々と計算を進めるのだと思います。
では、得意でない方の場合は、どうしたらよいのか?
我々が学校で教わってきたのは、加減法と代入法の2つだろうと思います。

もし、加減法を選択すると。
2つの式のうち、上の式を1,575倍し、下の式を508倍して、以下のように書きなおすのだろうと思います。
800,100X + 1,600,200Y = 36,004,500,000
800,100X + 640,080Y  = 19,202,400,000
電卓を使っても、計算間違いしそうだし、紙に書き取るのも間違いそうです。
上の式から下の式を引いて、960,120Y = 16,802,100,000。
よって、Y = 17,500。  ※ Xの算出は省略。

もし、代入法を選択すると。
上の式を、508X = -1,016Y + 22,860,000。
次に、X = -1,016Y / 508 + 1,016Y / 508。
さらに、X = -2Y + 45,000、と書きなおして、下の式に代入するだろうと思います。
下の式に代入すると、1,575( -2Y + 45,000 ) + 1,260Y = 37,800,000。
-3,150Y + 70,875,000 + 1,260Y = 37,800,000
-1,890Y = 37,800,000 - 70,875,000
-1,890Y = -33,075,000
よって、Y  =  17,500。   ※ Xの算出は省略。
これも、かなり、めげます。

ここで、第3の方法、行列式の登場です。
△ = 508 * 1,260 - 1,575 * 1,016 = -960,120
△X = 22,860,000 * 1,260 - 37,800,000 * 1,016 = -9,601,200,000
△Y = 508 * 37,800,000 - 1,575 * 22,860,000 = -16,802,100,000
X = △X / △ = -9,601,200,000 / -960,120 = 10,000
Y = △Y / △ = -16,802,100,000 / -960,120 = 17,500
【計算手順】
aX  + bY = c
dX  + eY = f
という連立方程式があるとき、
△ = a * e - d * b
△X = c * e - f * b
△Y = a * f - d * c
X = △X / △、 Y = △Y / △

もうちょっと視覚的に懇切丁寧に計算手順を説明したいとも思うのですが、このブログ投稿の主題は「行列式による解法のメリット」なので、解法そのものについては、私がこれを覚えたときの本を紹介するにとどめます。
松永三男著 算数・数学復習ドリル オーム社 (平成18年当時1,500円+税)

さて、「行列式による解法のメリット」は、以下のように考えています(個人的見解です)。

  • 加減法のように、「どの式を何倍するのか」と考える必要がない。
  • 代入法に比べ、式の変形や計算量が少ない。
  • フレームに既知数を埋めて、一定の順序で計算するだけで済む。

    ※EXCELに既知数を入力すれば、解を得られるシートを作ることもできます。EXCELに慣れ親しんでいる方は、一度作成してしまえば、ずっと使い続けられます。

ただ、中学校の教科書レベルの連立方程式なら、ひと目で加減法や代入法を選択したい場合もあります。

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